注：本文的方程都是一般式的形式，若不是，请先化为一般式。
前置知识：配方法
举个例子，求解如下方程：
x2+4x+3=0
x^2+4x+3=0
x2+4x+3=0x2+4x+4=1
x^2+4x+4=1
x2+4x+4=1(x+2)2=1
(x+2)^2=1
(x+2)2=1x+2=±1
x+2=\pm 1
x+2=±1x1=−3,x2=−1
x_1=-3,x_2=-1
x1=−3,x2=−1
而其中第一步将两边同时加一个 111，就可以将左边凑成一个完全平方式，再直接开平方求解。
基于配方法得出的公式解法
当我们用配方法解了很多方程之后，会发现：配方的过程很多时候是几乎一样的，所以，能否用字母表达呢？
求根公式推导
设方程为 ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0ax2+bx+c=0，则：
ax2+bx+c=0
ax^2+bx+c=0
ax2+bx+c=0x2+bax+ca=0
x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0
x2+abx+ac=0
而这一步的目的，就是为了将 x2x^2x2 的系数化为 111，方便配方。
接下来，开始配方：
x2+bax+(b2a)2=−ca+(b2a)2
x^2+\frac{b}{a}x+(\frac{b}{2a})^2=-\frac{c}{a}+(\frac{b}{2a})^2
x2+abx+(2ab)2=−ac+(2ab)2(x+b2a)2=−ca+(b2a)2
(x+\frac{b}{2a})^2=-\frac{c}{a}+(\frac{b}{2a})^2
(x+2ab)2=−ac+(2ab)2x+b2a=±−ca+(b2a)2
x+\frac{b}{2a}=\pm \sqrt{-\frac{c}{a}+(\frac{b}{2a})^2}
x+2ab=±−ac+(2ab)2x+b2a=±−4ac4a2+b24a2
x+\frac{b}{2a}=\pm \sqrt{-\frac{4ac}{4a^2}+\frac{b^2}{4a^2}}
x+2ab=±−4a24ac+4a2b2x+b2a=±b2−4ac4a2
x+\frac{b}{2a}=\pm \sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}}
x+2ab=±4a2b2−4acx=−b±b2−4ac2a
x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}
x=2a−b±b2−4ac
一元二次方程的判别式
我们发现，最后化出的结果为 x=−b±b2−4ac2ax=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}x=2a−b±b2−4ac，而这其中，b2−4acb^2-4acb2−4ac 就被称作一元二次方程的判别式，用 Δ\DeltaΔ 表示。
为什么叫判别式呢？我们发现，Δ\DeltaΔ 的外面是有一个根号的，那就说明：
若 Δ<0\Delta<0Δ<0，则无法开根号，方程无解；
若 Δ=0\Delta=0Δ=0，则不被求根公式右边分子的 ±\pm± 符号影响，所以方程有两个相同的实数根；
若 Δ>0\Delta>0Δ>0，则 Δ>0\sqrt{\Delta}>0Δ>0，方程有两个不同的实数根。
求根公式的推广— 韦达定理
既然求根公式里面带一个 ±\pm± 号，那两根之和一定是确定的。
x1+x2=−2b2a=−ba
x_1+x_2=\frac{-2b}{2a}=-\frac{b}{a}
x1+x2=2a−2b=−ab
再将两根的表达式相乘，发现两根之积也是确定的。
x1x2=−b+Δ2a⋅−b−Δ2a
x_1x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\cdot \frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}
x1x2=2a−b+Δ⋅2a−b−Δx1x2=b2−Δ4a2
x_1x_2=\frac{b^2-\Delta}{4a^2}
x1x2=4a2b2−Δx1x2=b2−(b2−4ac)4a2
x_1x_2=\frac{b^2-(b^2-4ac)}{4a^2}
x1x2=4a2b2−(b2−4ac)x1x2=4ac4a2
x_1x_2=\frac{4ac}{4a^2}
x1x2=4a24acx1x2=ca
x_1x_2=\frac{c}{a}
x1x2=ac
总结
求根公式
x=−b±b2−4ac2a
x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}
x=2a−b±b2−4ac
韦达定理
x1+x2=−ba
x_1+x_2=-\frac{b}{a}
x1+x2=−abx1x2=ca
x_1x_2=\frac{c}{a}
x1x2=ac